13/10/2019
Diálogos con la ciencia

«Todo lo universal es bello»

Jorge Wagensberg mantiene, una vez al mes, una conversación con los científicos españoles más importantes. Esta semana charla con David Nualart

Jorge Wagensberg - 22/04/2016 - Número 30
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«Todo lo universal es bello»
IKER AYESTARAN
David Nualart es desde hace 11 años profesor distinguido en la Universidad de Kansas. Académicamente desciende del profesor Francesc Sales y este, a su vez, del legendario Julio Rey Pastor. Es especialista en la teoría matemática de la probabilidad y en procesos estocásticos. Sus trabajos afectan a campos tan dispares como la física  o las finanzas.

A primera vista, lo que más destaca de tu historia académica es que has dejado hijos, nietos, incluso bisnietos científicos por todo el mundo.
En estos momentos tengo un centenar de colaboradores en una veintena de países, sí, sobre todo en España y en EE.UU.
 
La trascendencia de un matemático se mide por la influencia que ha tenido en el resto de creadores de su disciplina. Los físicos tienen a Newton y a Einstein, los biólogos a Darwin… ¿y los matemáticos?
Apostaría por alguien más cercano: Euler, que contribuyó en muchos temas distintos, Leibniz por el cálculo diferencial…
 
Arquímedes es muy antiguo, pero tiene el mérito de haber intuido casi toda la matemática moderna…
Excepto la teoría de la probabilidad. Pero hay disciplinas como la geometría o la combinatoria que son mucho más antiguas. Si tuviera que elegir uno, sería Euler.
 
La teoría de la probabilidad es la matemática más presente en la ciencia moderna y es también el campo al que te has dedicado. ¿Cómo empezó todo?
Los primeros resultados  (sobre todo el teorema central del límite) son de De Moivre y de Laplace, en el siglo XVIII. Sin embargo, la axiomática que permite edificar toda la teoría sí tiene un padre: Andrei Kolmogorov, un matemático del siglo XX que también hizo aportaciones decisivas en muchos otros capítulos de la matemática como el análisis funcional, los sistemas dinámicos o la turbulencia en mecánica de fluidos.
 
Tiene incluso una definición muy original de lo que es información.
Es verdad, aunque la que más se ha impuesto es la basada en la teoría de la probabilidad y esa definición se la debemos a Claude Shannon.
 
Los matemáticos veteranos inventan las conjeturas, pero las resuelven los jóvenes…
Claro. Cuando uno es joven tiene más fuerza, profundidad y capacidad para entrar a resolver cuestiones pendientes. Para eso se necesita la audacia de la juventud. En cambio la veteranía da mayor perspectiva para proponer problemas.

 “La tendencia de los matemáticos es acercarse a cuestiones que estén relacionadas con la realidad”

La matemática no es una ciencia, aunque solo sea por el hecho de que la realidad nunca puede desmentir una afirmación o un teorema matemático. En ciencia la última palabra la tiene la realidad. La realidad bendice, niega, critica, enciende la alarma… ¿Existe algo que juegue el papel de la realidad en matemáticas?
Las matemáticas son autónomas. Uno puede inventarse una teoría y es posible que tal conocimiento no tenga nada que ver con nada. Hay muchas direcciones posibles de investigación en matemáticas, pero no todas son igualmente interesantes. La tendencia de los matemáticos es acercarse a cuestiones que de una manera u otra estén relacionadas con la realidad. La física, la economía y otras maneras de comprender la realidad necesitan y usan modelos matemáticos que, sin referirse directamente a la realidad, sí sirven para comprenderla. La mayor parte de los matemáticos está muy atenta a lo que ocurre en la realidad. Se inspiran en ella. No todo vale en matemáticas.
 
Tu preocupación por la utilidad práctica está demostrada. He visto que una de las cuestiones en las que has trabajado es el famoso movimiento browniano que Einstein explicó por primera vez en uno de sus cinco  artículos de su annus mirabilis (1905). Con ello se demostraba nada menos que la composición molecular de la materia y se daba la señal de salida a la física estadística…
Einstein fue el primero en dar una explicación de este fenómeno observado más de un siglo antes por el botánico Robert Brown. Se trataba del movimiento aparentemente caprichoso de los granos de polen en el agua como consecuencia de la agitación térmica. En los años 20 el matemático Norbert Wiener profundizó mucho en la matemática del movimiento browniano (procesos estocásticos). Me he dedicado, es verdad, a desarrollar el cálculo diferencial e integral para describir las trayectorias, muy irregulares aunque continuas, de este proceso. Tienen por ejemplo una longitud infinita dentro de un intervalo finito, algo ciertamente muy difícil de imaginar.
 


Es curioso lo que molesta a algunos matemáticos la existencia de funciones que en un punto son continuas pero que no tienen derivadas.
Es verdad, exacto. Hay ejemplos concretos debidos a Weierstrass de curvas que tienen esta propiedad. En el caso del movimiento browniano estas curvas además se producen al azar. En los años 70 un matemático japonés llamado Kiyoshi Itô inventó un método basado en la teoría de la probabilidad para desarrollar un cálculo diferencial respecto de las trayectorias del movimiento browniano,  que es el que yo y otros hemos seguido y utilizado.
 
Todos esos trabajos de Wiener, Itô, los vuestros y los de tantos otros, ¿han aportado alguna comprensión nueva que añadir a lo que adelantó Einstein?
No, no se trata de eso. Einstein explicó que las partículas brownianas se movían como consecuencia del impacto de las moléculas de líquido sobre los granos de polen. Nosotros partimos de ahí y utilizamos el movimiento browniano como ruido aleatorio en ecuaciones diferenciales para modelar otros fenómenos físicos.
 
Quieres decir que se usa el movimiento browniano como perturbación aleatoria.
Así podemos hacer modelos sobre errores en la medida o aspectos no precisos de la modelización. Nosotros desarrollamos la teoría para que estas ecuaciones se puedan resolver y estudiamos diversos aspectos de las soluciones, como regularidad, estabilidad, equilibrio, entre otros.
 
El movimiento browniano es invariante respecto de la escala con la que se observa, esto es, se ve igual aunque nos acerquemos más al sistema. Parece una definición de proceso azaroso en sí mismo, ¿no?
Pues está relacionado, sí. El movimiento browniano es, en probabilidad, lo que se llama un fractal. Es decir, su distribución de probabilidad es invariante bajo ciertos cambios de escala. Y, en efecto, eso es justamente lo que ocurre cuando uno lo observa.
 
El sueño de todo químico es cristalizar una sustancia que es el estado más puro de la materia, el sueño de todo físico es unificar teorías aparentemente diferentes. ¿Cuál es el sueño de todo matemático? ¿Levantar una teoría sobre una axiomática como hizo Euclides con la geometría o como hizo Kolmogorov con la probabilidad?
Bien visto. Los números naturales se basan también en axiomas (los de Peano), la topología tiene también la suya... En la base de toda teoría matemática hay una axiomática que sirve de fundamento para todo lo que se quiere estudiar. La teoría de la probabilidad es algo diferente porque se trata de algo directamente real. Todo el mundo tiene la intuición de lo que es el azar, pero una teoría matemática necesita algo más que una intuición.
 
Comprendo. Antes de los axiomas de Kolmogorov había muchas definiciones de azar y de probabilidad pero ninguna de ellas era universal. Las definiciones  que servían para una cosa no iban bien para la otra.
Eso es. El problema más grave era que todas las definiciones eran subjetivas. La estadística intentó definir la probabilidad como el límite de frecuencias relativas. Pero con esas definiciones no se podía fundar una teoría matemática y hubo que esperar a la axiomática propuesta por Kolmogorov.
 
Es curioso, pero los físicos se contaminan a veces con la idea de axiomatizar, como Carathéodory, que axiomatizó nada menos que la termodinámica.
Tú lo has dicho antes: la matemática tiene más libertad para inventar porque no tiene por qué referirse directamente a la realidad. Con los axiomas se demuestran teoremas y con estos la teoría permite comprender la realidad. La convergencia de las frecuencias hacia la probabilidad teórica es ya un resultado observable. Eso, a su vez, respalda la axiomática de la que hemos partido. Pero la realidad difícilmente se deja axiomatizar de manera directa.
 
Los matemáticos suelen hablar de belleza con mucha frecuencia. El teorema de Gödel, por ejemplo, que precisamente acabó con el sueño de un conocimiento universal basado en una gran axiomática, es para muchos de una sofisticada belleza. ¿Qué teorema citarías si pensamos en su belleza?
En general, los teoremas que demuestran universalidad me impresionan por su belleza. En teoría de la probabilidad, por ejemplo, ocurre con la ley normal en el llamado teorema central del límite.  Existen otros ejemplos más modernos de universalidad como la ley del semicírculo en el comportamiento asintótico de los valores propios de matrices aleatorias de dimensión grande. Todo lo universal es bello.
 
Desde que Ludwig Bolztmann introdujera la probabilidad en física, cada día está más claro que nada que tenga que ver con la realidad se puede estudiar sin recurrir a ella...
Sobre todo, la probabilidad irrumpe en escena con la física cuántica. Según ella, una partícula existe solo con cierta probabilidad. En los últimos 30 años la probabilidad ha impuesto su presencia como variable en todas las ciencias, biología incluida claro.

 “Se puede alcanzar más conocimiento por simulación de lo que luego se consigue probar analíticamente”

¡Y la bolsa! Muchos grandes matemáticos como Mandelbrot, Allen o tú mismo no han resistido la tentación de acercarse a la bolsa para tratar de entender su caprichoso comportamiento, aunque todos llegan a la conclusión de que la matemática sirva para comprender pero no tanto para ganar.
Desde 1973 ha habido una auténtica explosión en cuanto a la aplicación de la matemática a las finanzas. Los pioneros fueron Fisher Black y Samuel Scholes con el modelo que lleva su nombre. A partir de entonces hubo un auténtico boom y muchos matemáticos y economistas se vieron atraídos por estas cuestiones. Se diseñaron fórmulas para valorar contratos y predecir lo que ha de ocurrir en los mercados, basadas en la modelización de la dinámica de precios mediante procesos estocásticos. En alguna ocasión también para ganar dinero, pero para eso hace falta ser además un buen profesional del tema o tener información privilegiada.
 
Hablemos del gran idilio matemática-física. Si uno echa un vistazo a la historia parece bastante claro que en ocasiones el físico encuentra hechas las matemáticas que necesita y que en otras son precisamente sus necesidades insatisfechas las que estimulan la creación de nueva matemática. Es lo que está ocurriendo con la teoría de las supercuerdas.
La matemática por encargo no suele funcionar demasiado bien. La teoría las supercuerdas me cae demasiado lejos, pero la nueva matemática estimulada desde la física viene en general más de necesidades prácticas que teóricas. Los físicos primero observan y miden con esfuerzo, luego interpretan y cuando consideran que ya han comprendido el fenómeno es cuando suelen llegar los matemáticos con sus nuevas construcciones. No es algo demasiado agradecido porque es cuando los físicos exclaman “¡nosotros ya lo sabíamos!” Es un poco broma (pero no tanto).
 
En la ciencia moderna, además de la teoría y la práctica, ha aparecido lo que podría llamarse simulación por ordenador. Sin embargo, en matemáticas aún hay un debate sobre lo que se puede demostrar analíticamente o solo por simulación.
Una cosa está clara: el hecho de que exista una demostración simulada (lo que es perfectamente válido) no le quita ningún valor a la existencia de una demostración analítica o lógicamente simple, que es por cierto lo que los matemáticos siempre buscan. En todo caso, el ordenador siempre puede proporcionar una buena primera aproximación a la solución de un problema y puede ayudar a plantear conjeturas. En general, se puede alcanzar mucho más conocimiento por simulación de lo que luego se consigue probar analíticamente.